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tl;dr von ChatGPT:

Kurt Gödels Unvollständigkeitssatz besagt, dass es in der Mathematik Aussagen gibt, die sich nicht beweisen lassen. Diese Erkenntnis findet auch in der Physik Anwendung: Ein Forscherteam um Toby Cubitt entdeckte ein Modell, bei dem der Phasenübergang von einem Leiter zu einem Isolator durch die nicht berechenbare Chaitinsche Konstante Ω bestimmt wird. Da Ω nicht exakt berechenbar ist, bleibt auch der Phasenübergang unbestimmt. Das zeigt, dass Gödels Unvollständigkeit tief in physikalische Systeme hineinreicht und möglicherweise fundamentale Grenzen bei der Lösung physikalischer Probleme aufzeigt.

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Zusammenfassung durch ChatGPT:

Das »Leiterspiel« (Snakes and Ladders) ist ein Glücksspiel, dessen Ausgang vollständig vom Zufall bestimmt wird. Mathematisch lässt es sich durch eine Markow-Kette darstellen, bei der die Wahrscheinlichkeit des nächsten Zustands nur vom aktuellen Zustand abhängt. Die Analyse erfolgt mithilfe einer Übergangsmatrix, die die Wahrscheinlichkeiten für Bewegungen auf dem Spielfeld beschreibt.

Ohne Schlangen und Leitern ist die Matrix einfach, mit Wahrscheinlichkeiten von 1/6 für die nächsten sechs Felder. Schlangen und Leitern modifizieren diese Matrix, indem sie Wahrscheinlichkeiten zu anderen Feldern verlagern. Damit lässt sich die durchschnittliche Spieldauer berechnen. Eine Besonderheit der Markow-Ketten ist, dass zusätzliche Felder manchmal zu einem schnelleren Spielende führen können, da Rückschritte neue Chancen auf Abkürzungen bieten.

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[...] nun haben die zwei Mathematiker Ben Green von der University of Oxford und Mehtaab Sawhney von der Columbia University eine mehr als 25 Jahre alte Vermutung über Primzahlen bewiesen, wie sie in einer im Oktober 2024 veröffentlichten – aber noch nicht begutachteten Arbeit berichten. Daraus leitet sich eine neue Formel ab, mit deren Hilfe sich unendlich viele Primzahlen berechnen lassen.

Paper: Primes of the form p^2^ + nq^2^ | PDF

Zwei jungen Nachwuchswissenschaftlerinnen ist gelungen, was in der Fachwelt lange Zeit als nahezu unmöglich galt: Sie haben den berühmten Satz des Pythagoras (a² + b² = c²) mit Mitteln der Trigonometrie bewiesen - und das gleich mehrfach.

Das Problem dabei: Die Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie, und deren grundlegende Formeln beruhen auf der Annahme, dass der Satz des Pythagoras wahr ist. Es droht also ein Zirkelschluss - eine Beweisführung, in der das zu Beweisende schon als Voraussetzung steckt.

Artikel:

• Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem - das PDF liegt auf Google-Drive

Aus dem Wikipedia-Kuriositätenkabinett.

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Das gemeinschaftliche Projekt GIMPS hat die größte bisher bekannte Primzahl hervorgebracht.

2^136279841^ −1

Nach knapp sechs Jahren intensiver Suche wurde am 21. Oktober 2024 die Zahl 2^136279841^ −1 vorgestellt, die mit 41 024 320 Dezimalstellen bislang größte bekannte Primzahl. Damit umfasst sie etwa 16 Millionen Ziffern mehr als der bisherige Rekordhalter [...]

Die neueste Primzahl läutet eine neue Ära ein, wie das GIMPS-Team in einer Pressemitteilung bekannt gibt: »Diese Primzahl beendet die 28-jährige Herrschaft der gewöhnlichen Personal Computer, die diese riesigen Primzahlen finden.« Denn als ehemaliger Nvidia-Mitarbeiter hat Durant Grafikkarten genutzt, um die umfangreichen Berechnungen durchzuführen.

Pressemitteilung: GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2^136,279,841^ -1

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Zusammenfassung durch ChatGPT:

Die Geometrie ist eine der ältesten Disziplinen der Mathematik, deren Grundlagen in der Antike gelegt wurden. Euklids Werk „Die Elemente“ war dabei über fast 2000 Jahre ein Standardwerk. Ein abstraktes Beispiel der Geometrie ist die Fano-Ebene, die durch eine Inzidenzstruktur aus sieben Punkten und sieben Geraden definiert wird. In dieser projektiven Ebene, in der keine Parallelen existieren, erfüllt jede Gerade und jeder Punkt bestimmte Relationen.

Trotz ihrer Einfachheit hat die Fano-Ebene vielfältige Anwendungen, etwa in der Fehlerkorrektur bei der Datenübertragung, Kryptografie, Quantencomputern und statistischen Experimenten. Sie illustriert, wie selbst einfache geometrische Strukturen in der Mathematik zu komplexen Anwendungen führen können.

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Warum gibt es immer wieder neue Weltrekorde? Diese Frage führt schnell zur Euler-Mascheroni-Konstante, einer Zahl, über die Mathematiker kaum etwas wissen. Zum Beispiel ist bis heute unklar, ob sie rational oder irrational ist.

Kompakte Bausteine: Mathematiker haben eine neue Klasse von geometrischen Formen gefunden, die lückenlose „Fliesenmuster“ bilden können. Aus diesen „weichen Zellen“ lassen sich zwei- und dreidimensionale Konstruktionen bauen, die in der Natur häufig vorkommen. Das Besondere daran: Anders als klassische Fliesen oder Mauersteine besitzen sie nicht nur spitze Ecken, sondern auch abgerundete Kanten. Dennoch können sie lückenlos zu einer gekachelten Fläche oder einem 3D-Objekt angeordnet werden.

Paper: Soft cells and the geometry of seashells | PDF

Älterer Post zum Thema:

• Neue mathematische Kachelformen zum Auslegen von Flächen entdeckt

Links:

• Online Encyclopedia of Integer Sequences
• OEIS Wiki

Video: A Number Sequence with Everything - Numberphile - Dauer: 11 min

"Bis zu seinem Lebensende fürchtet der Mathematiker Andrei Kolmogorow die sowjetische Geheimpolizei, die ihn auf Stalins Geheiß beobachtet. Denn Kolmogorow führt ein Leben, das in der Stalin-Diktatur eigentlich nicht geduldet wird."

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Zusammenfassung mit Summarizer:

Die Suche nach ungeraden perfekten Zahlen ist ein langjähriges mathematisches Rätsel, das bereits seit der Antike die Köpfe von Mathematikern zerbricht. Perfekte Zahlen sind solche, bei denen die Summe ihrer echten Teiler gleich der Zahl selbst ist. Bekannte perfekte Zahlen sind 6, 28, 496 und 8128. Es wird spekuliert, dass ungerade perfekte Zahlen größer sein müssen als die Zahl 10^2200^, und bisher konnte keine solche Zahl nachgewiesen werden. Die Suche nach ungeraden perfekten Zahlen hat viele mathematische Rätsel aufgeworfen, und Mathematiker haben fortwährend neue Anforderungen an diese hypothetischen Zahlen formuliert. Die Existenz von ungeraden perfekten Zahlen wäre eine Sensation in der Mathematik, da es bis heute keinen eindeutigen Beweis für ihre Nichtexistenz gibt. Die Entdeckung von Spoofs – Zahlen, die sich als fast ungerade perfekte Zahlen tarnen – hat neue Perspektiven für die Forschung eröffnet, auch wenn bisher keine endgültige Lösung gefunden wurde. Die Suche nach ungeraden perfekten Zahlen und Spoofs bleibt ein faszinierendes Thema in der Zahlentheorie, das die Mathematiker weiterhin beschäftigt.

Wikipedia: Vollkommene Zahl

Die ersten 12 vollkommenen Zahlen (Folge A000396 in OEIS):

6
28
496
8.128
33.550.336
8.589.869.056
137.438.691.328
2.305.843.008.139.952.128
2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176
191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216
13.164.036.458.569.648.337.239.753.460.458.722.910.223.472.318.386.943.117.783.728.128
14.474.011.154.664.524.427.946.373.126.085.988.481.573.677.491.474.835.889.066.354.349.131.199.152.128

Alltagsproblem mathematisch betrachtet: Einen Termin für ein Meeting mit mehreren Teilnehmern zu finden, ist oft mühsam. Gibt es dafür vielleicht eine mathematische Lösung? Das haben nun drei Physiker untersucht – mit überraschenden Ergebnissen. Denn es gibt einen kritischen Punkt, ab dem es exponentiell schwieriger wird, einen für alle Teilnehmenden passenden Termin zu finden. Dieser „Phasenübergang“ liegt für eine typische 40-Stundenwoche bei einer Teilnehmerzahl von mehr als vier, wie das Team berichtet.

Paper: Scheduling meetings: are the odds in your favor? | PDF

Maryam Mirzakhani ist die erste Mathematikerin, die mit der Fields-Medaille ausgezeichnet wurde. Ihre Forschung ist wegweisend für die Mathematik und die Physik — sie bleibt auch über ihren Tod hinaus eine Inspiration für nachfolgende Wissenschaftlerinnen.

#FieldsMedaille #MaryamMirzakhani #RiemannscheFlächen #GeschichtenAusDerMathematik

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Zusammenfassung durch ChatGPT:

Esther Klein, eine ungarische Mathematikerin, stellte die Vermutung auf, dass aus fünf Punkten in einer Ebene immer vier ein konvexes Viereck bilden können. Ihre Idee führte zur Erdős-Szekeres-Vermutung, die besagt, wie viele Punkte nötig sind, um ein konvexes n-Eck zu garantieren. Esther und George Szekeres, der an der Forschung beteiligt war, heirateten und führten ein glückliches Leben. Sie starben am 28. August 2005, im Alter von 94 bzw. 95 Jahren, im Abstand von nur einer Stunde. Ihr Problem ist als "Happy Ending Problem" bekannt.

Wikipedia [en]: Happy ending problem

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Forscher träumen von einer Lösung aller wissenschaftlichen Rätsel. Durch die Kolmogorow-Komplexität schien sie zum Greifen nah – doch ein Paradoxon macht ihr den Garaus. So viel ist aber klar: die 42 ist es nicht.